На границе в Москве и на Пхукете смотрят ли штамп о гражданстве на свидетельстве о рождении, если у ребенка свой загранпаспорт? Ребенку 4 года. В МФЦ записаться не могу, свободных мест на ближайшие 2 недели нет.

Можно обратиться в МВД по месту прописки

Когда ребенок летит с обоими родителями, свидетельство не требуют.

Если у ребёнка имеется загран паспорт, то на Пхукете всем без разницы. В Москве — насколько я понимаю, они проверяют, ваш ли это ребёнок.