С Ката до старого города как-то можно добраться не на такси? Тук-тук, автобус?

Тук туков на Пхукете нет, это дорогое такси. Есть приложения indrive и bolt - можно через них заказать. А еще можно в гугл картах построить маршрут и нажать там «Общественный транспорт» - покажет остановки автобуса, который ездит в таун.

Да. Синие вагончики написано Phuket town. Каждые полчаса.

Автобус есть синий, 40 батов. Тук-туки, конечно же, на Пукете есть и их много. Иногда дороже такси, иногда дешевле.