Подскажите, имею ли я право требовать у владельца квартиры, где живу, копию своей регистрации? И какие ещё документы могу у него попросить?

В принципе, она у вас должна быть на руках — бумажная или электронная. Если нагрянет проверка, будет плохо. И вам, и хозяину квартиры.

Да, обязаны выдать ваучер