Сняли жильё надолго, выписались из отеля — надо ли оформлять регистрацию? Заехали по штампу, планируем визаран и визу, какие проблемы возможны и какие именно?

Оформляйте визаран. Перечень документов гляньте на сайте консульства, куда будете обращаться.

Регистрацию делать надо, этим занимается собственник либо агент, или вы сами.