С новым штампом с Фукуока на материк уже можно? Документы при выезде с острова так же проверяют?

В теории да, ведь чтобы попасть сперва на Фукуок, как раз проверяют этот новый штамп. Пока не оверстей, всё должно быть ок.

При выезде проверяют.

Смотрят срок действия штампа/визы/паспорта, чтобы просрочек не было.