Вот такой вопрос: если уже попал в госпиталь, есть ли смысл оформить страховку сейчас? А потом разобраться

Обычно нет

Если вы сможете убедить страховую, что ваш случай, произошедший до оформления страховки, является страховым, то конечно стоит оформить.