У авиакомпании Vietjet при онлайн-бронировании и оплате билетов на их сайте не запрашивают документы. Как тогда проходит регистрация на рейс?

Всё в порядке. У них в аэропорту есть стойки самообслуживания для регистрации, там можно и место выбрать, или уже непосредственно на регистрации.

Да, для внутренних рейсов это обычное дело.