У дочки карта тинькофф премиум. Если она сделает страховку, впишет туда родителей, а сама не полетит отдыхать — страховка будет работать во Вьетнаме? Или обязательно те, кто вписан, должны ехать, и тогда страховка на них действует?

По большей части страховка по банковской карте, вроде Tinkoff Premium, привязана к владельцу карты, а не только к тем, кого вписали. Если дочь оформит страховку через карту и впишет родителей, страховка сработает только при условии, что она сама тоже участвует в поездке. Обычно такие страховки покрывают расходы владельца карты и членов его семьи (или вписанных лиц), но присутствие владельца карты в поездке — обязательное условие