На Фукуоке в аэропорту, если дьюти-фри нет, там какие-нибудь местные лавки имеются? Ром перед посадкой в самолёт можно взять?

Взять можно, но в пять раз дороже)

Дьютик там есть, правда маленький, алкоголь берите, ещё сладости, сувениры прикольные и т.д.