В октябре подаю документы на визу в Бангкоке, и паспорт, соответственно, заберут. На следующий день после подачи собираюсь лететь на Пхукет. Подскажите, визовый центр выдаст какую-нибудь бумагу взамен российского загранпаспорта?

Нет, конечно. Внутри страны летать можно. По тайским правам.

Уточняйте в конкретной авиакомпании. Некоторые от иностранцев требуют именно паспорт, например VietJet. У меня дочь в такой ситуации была, на визу отдавали. В Суварнабхуми требовали именно паспорт, благо был второй.