В РФ (Москва) из старого паспорта в новый переносят действующую визу?

Нет. Оформляешь заново. Визу. К паспорту прилагается справка.

Можешь на почту написать свой вопрос или позвонить. А так паспорт с действующей визой вообще у тебя на руках остаётся.