В РФ (Москва) со старого паспорта в новый переставляют действующую визу?

Нет. Получаешь по новой. Визу. Прилагается справка к паспарту.

Можно написать на почту свой вопрос или позвонить. А вообще паспорт с действующей визой у вас остаётся на руках.